ПОПЕРЕЧНИКИ КОЛМОГОРОВА И НЕНАСЫЩАЕМЫЕ МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ КЛАССОВ                                 ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ РЕШЕНИЯМИ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ                         (ЧАСТЬ II. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ) 

Бойков Илья Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), boikov@pnzgu.ru

519.6 

Актуальность и цель. В статье К. И. Бабенко «О некоторых задачах теории приближений и численного анализа» среди ряда важных проблем вычислительной математики были сформулированы две проблемы: 1) вычисление поперечников Колмогорова и Бабенко на классе Qr (Ω,M) (класс Qr (Ω,M) состоит из функций, имеющих непрерывные производные до r-го порядка в области Ω и производные до (2r + 1)-го порядка в области Ω ∂Ω, причем модуль производной k-го порядка (r < k ≤ 2r +1) оценивается неравенством Dk f ≤ c / (d(x,∂Ω))k−r , где d(x,∂Ω) – расстояние от точки x до ∂Ω границы области); 2) построение ненасыщаемых методов аппроксимации классов функций. Настоящая работа посвящена вычислению поперечников Колмогорова и Бабенко классов ,γ (Ω, ) ur Q M и u,γ (Ω, ) Qr M функций многих переменных, являющихся обобщением класса функций Qr (Ω,M); построению оптимальных по порядку методов приближения функций этих классов и построению ненасыщаемых алгоритмов аппроксимации, точность которых отличается от точности оптимальных множителем O(lnα n), где n – число функционалов, используемых при построении алгоритма, α – некоторая константа. Классам функций, γ (Ω,) ur Q M , u,γ (Ω,) Qr M принадлежат решения эллиптических уравнений, слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений.
Материалы и методы. Вычисление поперечника Колмогорова основано на оценке снизу поперечника Бабенко, оценке сверху поперечника Колмогорова и на использовании леммы, устанавливающей связь между поперечниками. Для оценки сверху поперечника Колмогорова строятся локальные сплайны, которые являются оптимальными методами приближения классов функций, γ (Ω,) ur Q M , u,γ (Ω,) Qr M .
Результаты и выводы. Построены оптимальные методы аппроксимации классов функций ,γ (Ω, ) ur Q M , u,γ (Ω, ) Qr M , которые могут быть положены в основу эффективных численных методов решения эллиптических уравнений, слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений.

пространство Соболева, поперечники, ненасыщаемые методы аппроксимации, сплайны.

1. Бойков, И. В. Поперечники Колмогорова и ненасыщаемые методы аппрокси-мации классов функций, определяемых решениями уравнений математической физики (Часть I. Функции одной переменной) / И. В. Бойков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2014. – № 1 (29). – С. 65–78.
2. Бойков, И. В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными сплайнами / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1998. – Т. 38, № 1. – С. 25–33.
3. Бойков, И. В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления интегралов / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2007. – 236 с.
4. Никольский, С. М. Курс математического анализа / С. М. Никольский. – М. :Наука, 1975.–Т. 1.–432с.
5. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики / под ред. К. И. Бабенко. – М. : Наука, 1979. – 196 с.
6. Бабенко, К. И. О некоторых задачах теории приближений и численного анализа / К. И. Бабенко // Успехи математических наук. – 1985. – Т. 40, № 1. – С. 3–28.